CÁLCULOS Y MEDICIONES • Fecha de publicación: 18 / 02 / 2023
Las matemáticas para calcular rentabilidades anuales
Los pasos necesarios para poder comparar rentabilidades entre activos y productos financierosEG
Enrique García Sáez
18 / 02 / 2023
Una de las barreras entre los inversores y los cálculos rigurosos de rentabilidad son las matemáticas financieras, tanto por su inconveniente como dificultad. Sin embargo, son imprescindibles para poder comparar datos y comprender realmente lo que ofrecen diferentes activos. Supongamos que un inversor quiere descubrir qué inversión ha sido más rentable en términos relativos:
- La inversión A. que proporcionó una revalorización del 80% en 10 años
- La inversión B, que consiguió sólo un 40% en 5 años.
La inversión A entregó más en acumulado, pero también necesitó más tiempo para lograrlo. Entonces, no está claro qué inversión es más rentable, salvo que transformemos los datos a una medida que sea comparable, una rentabilidad sobre un periodo de tiempo similar para ambas. Por convención y facilidad, normalmente utilizamos la rentabilidad anual para comparar estos datos, por lo tanto, es necesario en primer lugar transformar esas rentabilidades acumuladas en anuales.
Es aquí donde entran las matemáticas financieras, que en un primer acercamiento pueden resultar contraintuitivas. Un error muy común para obtener la rentabilidad anual es dividir el porcentaje acumulado entre el número de años, de forma que:
Rentabilidad anual = Rentabilidad acumulada / Número de años
Rentabilidad inversión A = 80% / 10 años = 8% al año
Pues bien, esta aproximación es un grave error, sobre todo cuanto mayor sea el número de años. En el mundo de las finanzas, es importante tener en cuenta la capitalización compuesta, de forma que el rendimiento del primer año se tiene en cuenta en el segundo, y el de los dos primeros años, se tiene en cuenta en el tercero.
Si se comienza con 10.000€, y se logró un 8% durante el primer año, es decir, 800€ (10.000 x 0,08), el capital al final del primer año será de 10.800€. Pero en el segundo año, el 8% no equivaldrá a 800€, sino a 864€. El 8% en términos absolutos será aún mayor en el 3er año si sigue creciendo la inversión.
De esta forma, si la inversión A hubiese entregado un 8% anual, la rentabilidad acumulada sería del 215,9%, una cantidad muy superior al 80% anual de la inversión A de la que partimos.
Los cálculos
Sin dar más rodeos, veamos cómo sería el cálculo correcto para el problema inicial. Para convertir una rentabilidad acumulada en anual necesitamos saber la rentabilidad acumulada y el tiempo exacto medido en años. Con estos datos, debemos transformar la rentabilidad acumulada en base de 1, dividiendo entre 100 y sumando 1:
Rentabilidad en base de 1 = ( Rentabilidad en porcentaje / 100 ) + 1
Rentabilidad en base de 1 de la inversión A = 80 / 100 + 1 = 0,8 + 1 = 1,8
La segunda parte consiste en calcular el exponente, al que elevaremos esa rentabilidad en base 1. Para ello dividimos 1 entre el número de años de nuestra rentabilidad:
Exponente = 1 / Número de años
Exponente de la inversión A = 1 / 10 = 0,1
El tercer paso consiste en elevar la rentabilidad en base 1 al exponente que hemos calculado, que normalmente será inferior a 1 si el periodo de tiempo es más de un año, y superior a 1 en caso contrario. La operación de elevar un número a otro también se denomina “elevar a la potencia de”. En la mayoría de calculadoras de aplicación, ya sea de ordenador o móvil, esta operación está disponible:
Rentabilidad anual en base 1 de la inversión A = 1,8 ^ 0,1 = 1,0605
Finalmente, transformamos la rentabilidad en base 1 a la base de 100 para poder expresarnos con porcentajes. Para esto hay que restar 1 y multiplicar por 100:
Rentabilidad anual en porcentaje = ( Rentabilidad en base de 1 - 1 ) x 100
Rentabilidad anual de la inversión A = ( 1,0605 - 1 ) x 100 = 0,0605 x 100 = 6,05%
La rentabilidad anual de la inversión B la vamos a calcular más rápido aplicando todas las operaciones seguidas:
Rentabilidad acumualda B en base de 1 = 40 / 100 + 1 = 1,4
Exponente B = 1 / 5 = 0,2
Rentabilidad anual en base de 1 = 1,4 ^ 0,2 = 1,0696
Rentabilidad anual en porcentaje = ( 1,0696 - 1 ) x 100 = 6,96%
La inversión B dio una mayor rentabilidad anual que la inversión A:
6,96% > 6,05%
Aún así, el mayor problema para obtener datos rigurosos no van a ser estos cálculos, sino la recogida de datos en el caso de inversiones que van generando pagos para el inversor. Pero son imprescindibles para poder comparar entre activos, y sobre todo, es esencial conocer el concepto de la capitalización compuesta para no llegar a confusiones.
Entendiendo el TAE: la tasa anual equivalente
Un caso muy paradigmático es el de las ofertas de productos basados en la , normalmente de depósitos, cuentas remuneradas, etc. Al igual que en una inversión de muchos años, las de menos de 1 año también pueden y deben ser transformadas a anuales. Por lo tanto, es posible convertir una rentabilidad absoluta de 3 meses en una rentabilidad anual.
La diferencia es que el exponente en este caso será positivo. Veamos un ejemplo, un producto que ofrece un 1,5% al final de 3 meses. El exponente sería:
1 / número de años
¿Pero cuántos años son tres meses? 3 meses son un cuarto de año:
3 meses / 12 meses = 0,25
Entonces el exponente sería:
1 / 0,25 = 4
Finalmente, la rentabilidad anual sería de:
1,5 → 1,015 (base 1)
1,015 ^ 4 = 1,0616 (base 1) → 6,16% (base 100)
Y este sería el famoso TAE, que puede aparentar más de lo que realmente es. ¿O no? Cuando el banco ofrece un 6,16% TAE, mucha gente intuye que está obteniendo un 6,16% en términos absolutos. Pero nadie está engañando, en realidad, si el cliente es capaz de encadenar 4 depósitos, uno cada trimestre tras terminar el anterior, obtendría un 6,16% anual.
Es importante señalar que hay cierto peligro en extrapolar rentabilidades de corta duración, una mala práctica que se utiliza para exagerar y prometer rentabilidades estratosféricas. Si un trader logra un 10% en un mes, ¿tiene sentido que vaya diciendo que está logrando un 314% anual? El sentido común dice que por muy riguroso que sea el cálculo, hay que aplicar el contexto adecuado a los datos. Desde luego es una muy buena rentabilidad para un sólo mes, pero una transformación a rentabilidad anual puede ser a veces absurda.
En definitiva, dependiendo de la familiarización del inversor con cierto nivel de matemáticas y conceptos, estos cálculos pueden suponer un problema mayor o menor. Sin embargo, son imprescindibles para poder utilizar datos rigurosos y comparables entre inversiones y productos.